1. 통계적 확률이란 무엇인가? (간단 개념)

통계적 확률은 "실제로 여러 번 해 봤더니 이렇게 되더라"라는 경험을 바탕으로 미래에 어떤 사건이 일어날 가능성을 예측하는 방법입니다.

수학적 확률이 '모든 경우의 수'와 '해당 사건의 경우의 수'를 논리적으로 계산하는 반면, 통계적 확률은 **반복적인 시행을 통해 얻은 결과(상대도수)**를 바탕으로 합니다.

예를 들어, 어떤 동전을 100번 던졌더니 앞면이 52번 나왔다면, 이 동전의 앞면이 나올 통계적 확률은 52/100 = 0.52라고 할 수 있습니다.

2. 핵심 용어 정리

시행: 동일한 조건에서 여러 번 반복할 수 있고, 그 결과가 우연에 의해 결정되는 실험이나 관찰.

예시: 주사위 던지기, 동전 던지기, 공 뽑기

사건: 시행의 결과로 나타나는 것.

예시: 주사위를 던져 짝수의 눈이 나옴, 동전을 던져 앞면이 나옴

상대도수: 어떤 시행을 n번 반복했을 때, 특정 사건 A가 r번 일어났다면, 그 사건 A의 상대도수는 nr​ 입니다.

예시: 동전을 100번 던져 앞면이 52번 나왔다면, 앞면의 상대도수는 10052​

통계적 확률: 시행 횟수 n을 한없이 크게 할 때 (즉, 무수히 많이 반복할 때), 어떤 사건 A의 상대도수가 일정한 값에 가까워지면, 이 극한값을 사건 A의 통계적 확률이라고 합니다.

수식으로 표현하면:P(A)=n→∞lim​nr​ 여기서 P(A)는 사건 A가 일어날 통계적 확률을 의미합니다.

3. 통계적 확률과 수학적 확률의 관계 (중요!)

수학적 확률: 이론적이고 이상적인 확률. 주사위나 동전처럼 모든 경우의 수가 명확하고 각 경우가 일어날 가능성이 동일하다고 가정할 때 사용합니다.

예시: 주사위를 던져 1이 나올 수학적 확률은 61​ (이론적으로 모든 면이 나올 가능성이 동일하다고 가정).

통계적 확률: 실제 경험을 바탕으로 하는 확률. 모든 경우의 수를 알 수 없거나, 각 경우의 가능성이 동일하지 않은 경우에 사용합니다.

예시: 어떤 야구 선수의 타율 (타석에 들어섰을 때 안타를 칠 통계적 확률), 불량품이 나올 확률.

핵심: 시행 횟수 n이 충분히 커지면, 통계적 확률은 수학적 확률에 가까워진다는 '큰 수의 법칙'이 성립합니다. 즉, 동전을 무수히 많이 던지면 앞면이 나올 상대도수는 0.5에 가까워진다는 것입니다.

4. 언제 통계적 확률을 사용할까?

수학적 확률을 구할 수 없을 때: 동전이나 주사위처럼 경우의 수가 명확하지 않거나, 각 경우의 가능성이 동일하다고 보장할 수 없을 때 (예: 찌그러진 동전 던지기, 공기저항을 받는 물체 낙하).

실제 데이터를 바탕으로 예측할 때: 야구 선수의 타율, 특정 질병의 발병률, 제품의 불량률, 날씨 예측 등.

5. 통계적 확률 문제 접근 방법

통계적 확률 문제는 주로 '어떤 시행을 몇 번 했을 때, 특정 사건이 몇 번 일어났다. 이 결과를 바탕으로 미래에 이 사건이 일어날 확률을 구하고, 이를 바탕으로 예측하라'는 형태로 나옵니다.

시행 횟수 (n) 파악하기: 총 몇 번의 실험 또는 관찰이 이루어졌는지 확인하세요.

특정 사건이 일어난 횟수 (r) 파악하기: 내가 관심을 가지고 있는 사건이 몇 번 발생했는지 확인하세요.

상대도수 계산하기: nr​을 계산합니다. 이 값이 바로 통계적 확률이 됩니다.

예측하기: 계산된 통계적 확률을 바탕으로 앞으로의 상황을 예측하는 문제가 나올 수 있습니다. (예: 1000명 중 불량품이 나올 확률이 0.05라면, 1000명 중 몇 명이 불량품일까? → 1000×0.05)

예시 문제로 이해하기:

문제: 어떤 공장에서 생산된 전구 500개를 검사했더니, 그 중 10개가 불량품이었다. 이 공장에서 생산되는 전구 1개당 불량품일 통계적 확률은 얼마인가? 그리고 앞으로 생산될 전구 2000개 중 불량품은 몇 개가 될 것으로 예상할 수 있는가?

풀이:

시행 횟수 (n): 500개 (전구를 500번 검사)

특정 사건 (불량품)이 일어난 횟수 (r): 10개

통계적 확률 계산: 불량품일 통계적 확률 = nr​=50010​=501​=0.02 따라서 이 공장에서 생산되는 전구 1개당 불량품일 통계적 확률은 0.02입니다.

예측하기: 앞으로 생산될 전구 2000개 중 불량품 예상 개수 = 2000×(불량품일 통계적 확률)=2000×0.02=40개 따라서 40개의 불량품이 나올 것으로 예상할 수 있습니다.

일주일 동안 충분히 개념을 다지고 문제 유형에 익숙해질 수 있습니다. 너무 조급해하지 마시고, 차근차근 정리하시면 좋은 결과 있으실 거예요! 화이팅!